Ordinea efectuării operațiilor – Exemple practice

Ordinea efectuării operațiilor reprezintă o regulă care ajută ca totul să aibă sens în matematică atunci când vorbim de adunări, scăderi, ridicări la putere, îmnulțiri, împărțiri, paranteze și așa mai departe. Fără această regulă, matematica ar fi haotică și nu ar putea fi numită o știință exactă.

Ce înseamnă ordinea efectuării operațiilor

Ordinea efectuării operațiilor este, așa cum ne spune și Wikipedia, o succesiune stabilită prin convenții, în cadrul unor expresii matematice. Această ordine ajută la eliminarea confuziilor și asigură rezultate corecte și unice, indiferent de câți oameni efectuează anumite calcule. 

Imaginează-ți că ai de rezolvat exercițiul 2 + 3 x 2. Un rezultat vei obține dacă faci mai întâi adunarea și altul dacă mai întâi vei face înmulțirea. Este important ca toată lumea să aplice aceeași regulă clară, regulă care întărește faptul că matematica este o știință exactă.

Ca și reguli generale, se începe mai întâi cu parantezele (de la cele interioare la cele exterioare), dacă există, se continuă cu ridicările la putere, apoi urmează înmulțirile și împărțirile și la final, adunările și scăderile. 

Ce tipuri de operații există

Pentru a înțelege cât mai bine în ce ordine efectuezi operațiile, este important să cunoști și ce tipuri de operații există.

• adunarea – aceasta este cea mai simplă dintre toate și presupune combinarea mai multor valori pentru a obține un rezultat (4 + 6 =10). Adunările sunt operații matematice de ordinul 1.
• scăderea – aceasta este o altă operație foarte simplă, care presupune calcularea diferenței dintre două valori (14 – 3 = 11). Scăderile sunt operații matematice de ordinul 1. 
• înmulțirea – în termeni foarte simpli, înmulțirea reprezintă repetarea aceluiași număr de mai multe ori (7 x 3 = 21, adică 7 + 7 + 7 = 21). Înmulțirile sunt operații matematice de ordinul 2. 
• împărțirea – această operație matematică presupune împărțirea unui număr în părți egale (35 : 5 = 7). Împărțirile sunt operații matematice de ordinul 2.
• ridicarea la putere – vorbim în acest caz de o operație matematică ce presupune înmulțirea unui număr cu el însuși de n ori, n fiind exponentul (2³ = 2 x 2 x 2 = 8). Ridicarea la putere este o operație matematică de ordinul 3.
• rădăcina pătrată – aceasta este o operație matematică inversă ridicării la pătrat. Mai exact, presupune găsirea unui număr care ridicat la pătrat rezultă numărul dat (√9 = 3). Rădăcina pătrată este o operație matematică de ordinul 3.

Tipuri de paranteze care trebuie respectate

De multe ori, în matematică, pe lângă operațiile matematice de bază mai întâlnim și paranteze. Acestea nu reprezintă operații propriu-zise, ci sunt utile pentru a dicta ordinea în care celelalte operații din enunț trebuie rezolvate. În matematică vei întâlni trei tipuri de paranteze:

• paranteze rotunde – () – exercițiile din interiorul acestora trebuie rezolvate primele;
• paranteze drepte [] – sunt utilizate în momentul în care există și paranteze rotunde și indică exercițiile ce trebuie rezolvate după ce au fost rezolvate cele din parantezele rotunde.
• acolade {} – aici vorbim de operații matematice mai complexe, care cuprind atât paranteze rotunde, cât și pătrate. Acoladele trebuie rezolvate ultimele. 

Așadar, în orice exercițiu întâlnim paranteze, mai întâi se rezolvă cele rotunde, apoi cele pătrate și la final acoladele.

De ce e important să respectăm ordinea operațiilor

Ordinea efectuării operațiilor este importantă pentru a garanta că toți cei care rezolvă un anumit exercițiu ajung la același rezultat. Altfel, fiecare poate interpreta calculul în mod diferit, iar acest lucru nu este acceptabil în matematică, unde vorbim de date exacte. 

Luăm ca exemplu exercițiul 4 + 3 x 2. Dacă nu respectăm ordinea efectuării operațiilor, rezultatul la care ajungem este 14 (7 x 2 = 14). Dacă o respectăm, așa cum este și corect, rezultatul va fi 10 (4 + 6 = 10). 

Imaginează-ți ce ar fi această eroare de calcul într-un exercițiu mai complex, care include paranteze, ridicări la putere, radicali etc. 

Așadar, data viitoare, când ai de lucrat cu operații complexe, nu uita că un rezultat corect îl poți obține doar dacă respecți ordinea efectuării operațiilor.  

Reguli de aur în ordinea efectuării operațiilor

Acum, după ce ți-am spus de ce această ordine este importantă și ce tipuri de operații și de paranteze există, vrem să îți prezentăm mai departe câteva reguli pe care este necesar să le respecți pentru a ajunge la un rezultat corect:

1. Prima dată se rezolvă operațiile matematice din interiorul parantezelor

Când ai un exercițiu complex pe care trebuie să îl rezolvi, prima data te vei ocupa de calculele din interiorul parantezelor. 

Așa cum spuneam și mai sus, mai întâi se rezolvă parantezele rotunde, apoi cele pătrate și la final acoladele – din interior spre exterior. 

Dacă avem exercițiul: 

• {[2 + (3 × 4)] – 5}, începem cu interiorul parantezei rotunde unde 3 x 4 = 12;
• ne rămâne {[2 + 12] – 5, unde calculăm mai întâi ce avem în paranteză 2 + 12 = 14;
• ce obținem este 14 – 5 = 9;
• Rezultat final 9.

2. Urmează ridicările la putere și extragerea de radicali

După ce am identificat parantezele și știm ordinea în care trebuie rezolvate, trebuie să observăm ce tipuri de operații cuprind și să începem cu cele de ordin 3, mai exact ridicările la putere și radicalii. 

Dacă exercițiul nu implică paranteze, pur și simplu respectăm ordinea efectuării operațiilor.

Dacă avem exercițiul:

• 2 + 3² × 4, mai întâi facem ridicarea la putere, adică 3² = 9;
• acum, că avem rezultatul ridicării la putere, rescriem datele 2 + 9 x 4;
• efectuăm acum mai întâi operația de ordinul 2, mai exact 9 x 4 = 36;
• rescriem datele cu ce am obținut 2 + 36 = 38;
• Rezultatul este 38.

3. Se continuă cu înmulțirea și împărțirea

Mai departe, ceea ce trebuie să rezolvăm după ce am stabilit parantezele și am făcut ridicările la putere și/sau extragerile de radicali, sunt înmulțirile și împărțirile. Ele se rezolvă în ordinea în care apar în enunț, de la stânga la dreapta. 

Dacă avem exercițiul:

• 12 : 3 x 2 + 7 – 3, mai întâi rezolvăm înmulțirile și împărțirile: 12 : 3 x 2 = 8;
• rescriem datele cu ce am obținut și avem 8 + 7 – 3 = 12;
• Rezultatul final este 12.

4. Adunarea și scăderea se fac ultimele

După ce ai rezolvat ce era mai complex din exerciții, respectând parantezele și efectuând operațiile matematice de ordinele 3 și 2, urmează calculele mai simple și anume adunările și scăderile. Ele trebuie realizate în ordinea în care apar, de la stânga la dreapta. 

Respectă aceste reguli și o să vezi că îți vor părea cu timpul foarte simple chiar și exercițiile mai complexe.

Exemplu de exercițiu care include respectarea tuturor regulilor

Haide să rezolvăm împreună un exercițiu mai complex, care include respectarea tuturor regulilor amintite. Îl vom rezolva pas cu pas, pentru a înțelege cât mai bine.

{[2 + (3² × 2)] ÷ 4} + 5 × (6 − 3)

• pentru a respecta cele indicate în reguli, începem cu ce avem în parantezele rotunde:
  • 3² x 2 = 9 x 2 = 18
  • 6 – 3 = 3
• mergem mai departe și înlocuim ce am obținut până acum
  • {[2 + 18] ÷ 4} + 5 × 3
• efectuăm acum calculele din paranteza pătrată
  • 2 + 18 = 20
• înlocuim datele cu ce am obținut
  • {20 ÷ 4} + 5 × 3
• facem și calculul din acoladă
  • 20 : 4 = 5
• înlocuim datele cu ce am obținut
  • 5 + 5 x 3
• respectăm ordinea efectuării operațiilor, pentru a obține rezultatul final
  • 5 + 15 = 20
• Rezultatul final este 20.

De ce adunarea și scăderea, dar și înmulțirea și împărțirea sunt de același ordine

Adunarea și scăderea sunt operații matematice de ordinul 1, iar înmulțirea și împărțirea sunt operații matematice de ordinul 2, ceea ce înseamnă că adunarea și scăderea sunt tratate ca având ambele aceeași importanță, așa cum se întâmplă și în cazul înmulțirii și împărțirii.

De ce se întâmplă asta? Pentru că vorbim de operații inverse, care lucrează împreună și se compensează una pe alta. 

Pentru a exemplifica acest lucru, dăm două exemple:

• Dacă 4 + 3 = 7, atunci și 7 – 3 = 4.
• Dacă 4 x 3 = 12, atunci și 12 : 3 = 4.

Ordinea operațiilor când nu avem paranteze

În cazul în care exercițiul pe care vrem să îl rezolvăm nu implică paranteze, se păstrează celelalte reguli amintite la început și anume:

• se rezolvă ridicările la putere și/sau radicalii;
• se rezolvă îmnulțirile și împărțirile;
• se rezolvă adunăriile și scăderile.

Este important să se respecte ordinea operațiilor, de la stânga la dreapta între operațiile care sunt de același rang.

Regula de la stânga la dreapta: unde se aplică și unde NU

Tot am vorbit până acum despre regula efectuării operațiilor de la stânga la dreapta. Ei bine, în cazul în care nu am fost până acum suficient de clari, vrem să îți specificăm că această regulă se aplică doar în interiorul grupurilor de operații care au același rang. 

Când lucrăm cu cifre putem avea tendința să facem de exemplu mai întâi înmulțirea și apoi împărțirea sau mai întâi adunarea și apoi scăderea, însă, acest lucru nu este corect.

Mai exact, atunci când ai operații matematice care aparțin aceluiași ordin, le rezolvi în ordinea în care apar – cum am explicat mai sus la înmulțire și împărțire, dar și la adunare și scădere.

Referitor la cazurile în care nu se aplică regula aceasta, trebuie să știi că ea nu este corect de aplicat dacă avem operații de rang diferit. Mai exact, nu facem mai întâi adunarea, de exemplu, apoi înmulțirea, ci respectăm regula legată de ordinea efectuării operațiilor și facem mai întâi înmulțirea, apoi adunarea.

Cum afectează semnele minus sau fracțiile ordinea operațiilor

Semnele minus și fracțiile pot părea simple la prima vedere, dar pot schimba complet modul în care interpretăm o expresie matematică. De aceea, este important să știm cum influențează ele ordinea efectuării operațiilor și cum să le tratăm corect în calcule.

Semnul minus

Acest semn are două roluri foarte importante, fiind utilizat în:

1. Scădere (ca operație) – atunci când minusul apare între doi termeni, el reprezintă o scădere și are același rang cu adunarea. Se rezolvă la final, după înmulțiri și împărțiri.

De exemplu, avem: 10 − 3 × 2

• mai întâi facem înmulțirea 3 x 2 = 6
• apoi facem scăderea 10 – 6 = 4.
   

2. Semn al unui număr negativ – dacă semnul minus apare în fața unui număr, fără alt operator, el indică un număr negativ și trebuie tratat ca atare.

De exemplu, dacă avem −2², semnul minus apare o capcană: ridicarea la putere are prioritate față de semnul minus (dacă nu este paranteză)!

• mai întâi facem 2² = 4
• apoi punem înapoi semnul minus în față, rezultatul fiind −4.

Dacă este vorba de expresia (-2)², lucrurile se schimbă, deoarece paranteza te obligă să ridici la pătrat tot numărul negativ, iar la final vei avea – 2 x – 2 = 4. 

Fracțiile

Fracțiile reprezintă de fapt împărțiri, dar pot conține și expresii complexe în numărător sau numitor. Partea importantă este că tot ce e pe linia de fracție este „grupat” de paranteze invizibile, așa că trebuie tratat cu prioritate.

De exemplu, dacă avem (6 + 2)(1+3)

• rezolvăm mai întâi numărătorul și numitorul
  • 6 + 2 = 8
  • 1 + 3 = 4
• facem apoi împărțirea
  • 8 : 4 = 2

Dacă ai o fracție pe o singură linie, fără paranteze, se aplică ordinea operațiilor normal: 12 ÷ 3 × 2 = 8. 

Se rezolvă de la stânga la dreapta, NU întreg numărătorul sau întreg numitorul.

Ce faci când expresia include și zecimale sau procente

Nu contează dacă exercițiul tău include sau nu zecimale, procente sau alte astfel de calcule matematice, deoarece acestea vor face parte dintr-o operație matematică de ordinul 1, 2 sau 3, iar tu vei aplica regulile așa cum le știi, așa cum le-ai învățat. 

Ce trebuie să faci în plus este să fii și mai atent, deoarece complexitatea exercițiului va crește. 

Trucuri vizuale pentru a grupa operațiile în minte

Pentru a evita greșelile și confuziile atunci când lucrezi cu expresii matematice, este util să îți creezi în minte un sistem vizual care să te ajute să grupezi corect operațiile. Astfel, vei vedea că matematica nu este atât de dificilă precum poate să pară.

• Imaginează-ți paranteze invizibile în jurul operațiilor care au prioritate (puteri, înmulțiri, împărțiri), chiar dacă nu sunt scrise. 
• Subliniază mental sau vizual operațiile prioritare pentru a nu le omite sau a le face prea târziu.
• Scrie expresia în mai mulți pași, rezolvând câte o operație pe rând, ca într-o scară logică.
• Gândește expresia ca pe un bloc cu mai multe etaje, unde fiecare etaj are un anumit tip de operație care trebuie rezolvat înainte de a coborî la următorul.
• Folosește un acronim ajutător, precum PRIIAS (Paranteze – Ridicări la putere – Înmulțiri – Împărțiri – Adunări – Scăderi), ca să îți amintești ordinea exactă.
• Analizează expresia câteva secunde înainte de a scrie primul pas, ca să identifici vizual unde sunt operațiile prioritare.
• Notează-ți simboluri sau semne discrete pe foaie (cu creion sau mental), pentru a marca zonele cu atenție specială.

Ordinea efectuării operațiilor este una dintre cele mai importante reguli în matematică. Ea nu doar că ne ajută să ajungem la rezultate corecte, dar ne învață să gândim structurat, să fim atenți la detalii și să respectăm o logică clară în rezolvarea problemelor.

Indiferent că vorbim despre adunări simple sau expresii complexe cu paranteze, puteri, fracții, zecimale sau procente, aplicarea corectă a regulilor este cheia.