Pentru mulți elevi, geometria în spațiu pare un teritoriu complicat, plin de termeni abstracti, unghiuri greu de imaginat și linii care „cad” pe planuri. Dar în spatele acestor concepte se ascunde o logică fascinantă, care nu doar că îți antrenează mintea, ci îți arată cum funcționează lumea reală – de la clădirile în care trăim până la obiectele pe care le folosim zilnic.
Unul dintre conceptele cheie din geometria spațială este teorema celor 3 perpendiculare, o relație elegantă și foarte utilă între o dreaptă oblică, proiecția ei și o perpendiculară într-un plan.
Ce este teorema celor 3 perpendiculare și de ce e importantă
Teorema celor 3 perpendiculare este o noțiune matematică pe care elevii o învață în clasa a 8-a, la geometrie, și are un enunț care poate să pară destul de complicat, dar pe care vom încerca să îl deslușim în cele ce urmează.
Conform Matera.ro, „Dacă o dreaptă d este perpendiculară pe un plan și prin piciorul ei trece o dreaptă a conținută în plan, care este perpendiculară pe o altă dreapta b din plan, atunci o dreaptă care unește orice punct M al dreptei d cu punctul de intersecție dintre dreptele a și b este perpendiculară pe dreapta b.”
Pare complicat, nu-i așa? Ei bine, imaginează-ți că ai o linie care cade perpendicular pe o altă linie dintr-un plan, iar acea linie este la rândul ei perpendiculară pe o altă linie din plan.
Această teoremă trebuie înțeleasă și reținută deoarece:
- ajută la înțelegerea pozițiilor relative care există între drepte și plane;
- este întâlnită la examenele pe care le dau elevii de școală gimnazială și liceu;
- reprezintă frecvent un subiect și în Olimpiadele la Matematică;
- ajută la rezolvarea unor probleme de geometrie spațială.
Definiția pe înțelesul tuturor: Cum funcționează teorema
Ca să înțelegi teorema celor 3 perpendiculare, imaginează-ți o linie care cade drept, ca o rază de lumină, pe o suprafață plană — să zicem, o masă. Acea linie „luminoasă” se oprește în punctul în care atinge masa și lasă acolo o „umbră”, adică o proiecție pe plan.
Acum, dacă „umbra” aceea este trasată perpendicular pe o altă linie aflată pe masă, atunci întreaga rază de lumină este perpendiculară pe masă. Cam așa funcționează ideea de bază a teoremei.
Teorema aceasta implică mai multe elemente:
- o dreaptă oblică (cea care cade în plan), care se intersectează cu planul într-un singur punct, și nu este paralelă sau perpendiculară cu planul.
- o proiecție a acestei drepte pe plan, care este cuprinsă în plan, este paralelă cu direcția dreptei oblice și mai poartă și numele de proiecție ortogonală, deoarece este făcută perpendicular pe plan.
- o dreaptă din plan care este perpendiculară pe proiecție și este strict în plan.
Prin urmare, dacă dreapta oblică se proiectează pe plant într-o proiecție, iar în plan avem o dreaptă perpendiculară pe proiecție, atunci dreapta oblică este perpendiculară pe plan.
Enunțul teoremei celor 3 perpendiculare și demonstrarea teoremei
Teorema celor trei perpendiculare este folosită atunci când vrem să calculăm distanța de la un punct la o dreaptă sau când vrem să demonstrăm perpendicularitatea a două drepte în spațiu.
Avem următoare reprezentare grafică:
Îți vom spune pe rând, ca să înțelegi cât mai bine:
- un plan α;
- o dreaptă d perpendiculară pe planul α;
- o dreaptă a care trece prin piciorul dreptei și este conținută în plan;
- o dreaptă b care face și ea parte din plan;
- o dreapta c, care unește orice punct M al dreptei d cu punctul de intersecție dintre dreptele a și b.
Dacă ar fi să enunțăm în termeni matematici aceste informații, avem așa:
- d 丄 α
- a, b ⊂ α
- a 丄 b ⇒ MA 丄 b
- a ∩ b = {A}
- M ∊ d
Demonstrația acestei teoreme se face arătând că dreapta b este perpendiculară pe planul triunghiului MOA, adică pe planul determinat de dreptele a și d.
Pentru a demonstra această teorie trebuie să demonstrăm că dreapta b este perpendiculară pe două drepte concurente din acest plan, așa cum vedem de la cei de la Matera.ro.
- b este perpendiculară pe d, pentru că dreapta d este perpendiculară pe alfa și dreapta b este inclusă în planul alfa;
- dreapta b este perpendiculară pe a din ipoteza;
- de aici rezulta ca dreapta b este perpendiculară este pe planul determinat de dreptele d si a;
- dreapta MA este conținută în acest plan;
- din aceste două relații va rezulta ca dreapta b este perpendiculară pe dreapta MA.
b 丄 d
b 丄 a
⇒ b 丄 (d, a)
MA ⊂ (d, a)
⇒ b 丄 MA
Ai în vedere faptul că punctul M poate fi plasat oriunde pe dreapta d, pentru că indiferent de poziția pe care o are, dreapta MA va fi mereu perpendiculară pe dreapta b.
Pașii aplicației într-o problemă de geometrie
Dacă trebuie să rezolvi o problemă de geometrie care implică aplicarea teoremei celor trei perpendiculare, trebuie să fii foarte concentrat și atent, motiv pentru care următorii pași ar putea să te ajute:
1. Identifică dreapta care intersectează planul într-un punct, dar care nu este perpendiculară cu punctul respectiv.
2. Identifică sau desenează proiecția ortogonală pe plan. Aceasta este o dreaptă cuprinsă pe plan și orientată în aceeași direcție cu linia oblică.
3. Identifică sau desenează dreapta perpendiculară din plan. Aceasta va fi perpendiculară pe proiecția dreptei d.
4. Aplică teorema celor trei perpendiculare pentru a afirma că dreapta perpendiculară din plan este perpendiculară pe dreapta oblică din spațiu.
5. Notează concluziile la care ai ajuns și care demonstrează cele dorite în enunț.
Greșeli frecvente și cum să le eviți
Când lucrăm cu geometria în spațiu, erorile sunt foarte simplu de făcut, motiv pentru care trebuie să fii extrem de atent și să eviți unele dintre cele mai frecvente greșeli:
- confundarea dreptei oblice cu proiecția ei
Acest lucru se întâmplă mai frecvent decât ai crede la o primă vedere, deoarece mulți elevi au impresia că dreapta oblică și proiecția ei sunt același lucru, mai ales când pornesc din același punct. Pentru a evita această greșeală ține cont de faptul că dreapta oblică este în spațiu, nu în plan și că proiecția este o dreaptă care face parte din plan.
- aplicarea teoremei celor trei perpendiculare în absența unei proiecții ortogonale
Teorema celor trei perpendiculare nu implică doar două drepte și un plan, ci este necesar să existe sau să desenezi tu și o proiecție ortogonală pe un plan. Prin urmare, această teoremă se aplică doar când cunoaștem explicit că o dreaptă este proiecția ortogonală pe un plan.
- inversarea concluziei teoremei
Mulți elevi fac greșeala de a crede că dacă o dreaptă este perpendiculară pe o dreaptă din plan, în mod automat ea va fi perpendiculară și pe plan, ceea ce este greșit. Dacă vei învăța corect enunțul teoremei și îl vei înțelege, vei evita această confuzie.
- neglijarea poziției geometrice în spațiu
Este mai simplu decât crezi să uiți să verifici dacă dreptele se intersectează sau sunt în același plan și să aplici orbește teorema. Pentru a te asigura că obții rezultate corecte, cel mai eficient și recomandat este să desenezi. Fă un desen clar, desenează și notează clar ceea ce știi și astfel îți vei da seama de cum sunt poziționate dreptele pentru a-ți da seama dacă sunt așa cum cere teorema.
- lipsa unor concluzii clare
Ai în vedere faptul că totul trebuie scris foarte clar pentru a avea punctaj maxim la un exercițiu. Așadar, nu uita ca la final, enunțul tău să exprime în mod clar că a fost vorba de teorema celor trei perpendiculare.
Unde apare teorema celor 3 perpendiculare în viața reală
În viața de zi cu zi ne putem întâlni mai des decât credem cu situații în care apare teorema celor trei perpendiculare. Chiar dacă la o primă vedere ea pare destul de abstractă, în practică ar putea fi destul de simplu de înțeles.
- Arhitectură și construcții
Când un inginer sau un arhitect proiectează o clădire, este esențial să se asigure că stâlpii sunt perpendiculari pe podea, iar grinzile care leagă diferite părți ale structurii sunt aliniate corect.
Când există un stâlp înclinat, care intersectează podeaua (planul), iar o grindă din podea este perpendiculară pe proiecția acelui stâlp, se poate afirma cu ajutorul teoremei celor trei perpendiculare că grinda este perpendinculară pe stâlp, ceea ce va asigura faptul că va fi o construcție cu o bună stabilitate.
- Montarea scărilor sau a rampelor
La proiectarea unei scări înclinate care ajunge într-un plan (de exemplu, o platformă), se folosește această teoremă pentru a verifica dacă balustrada sau o grindă din plan este perpendiculară pe scară.
Având în vedere că se proiectează scara pe platformă și se verifică unghiul cu balustrada, putem spune că aceasta este o aplicație exactă a teoremei.
- Măsurători topografice
În topografie, când se măsoară înălțimi, pante și poziții ale punctelor în teren, se folosește frecvent conceptul de proiecție ortogonală pentru a stabili distanțe reale sau unghiuri între obiecte (copaci, stâlpi, pante etc.).
Dacă o linie de observație este perpendiculară pe proiecția unei pante, se deduce și perpendicularitatea față de întreaga pantă, prin teoremă.
- Design 3D și modelare grafică
În grafică 3D (jocuri, animație, simulări), motoarele grafice folosesc proiecții și relații spațiale. Pentru a determina dacă un obiect este „aliniat corect” cu o suprafață (perete, podea etc.), se verifică dacă direcția obiectului este perpendiculară pe proiecția sa în plan.
Vorbim în acest caz de teorema celor trei perpendiculare implementată în cod. E interesant, nu-i așa?
- Lucrări manuale și tâmplărie
Un tâmplar care vrea să monteze un raft înclinat într-un perete trebuie să știe dacă șuruburile din perete sunt perpendiculare pe raft. Pentru asta, poate verifica doar unghiul dintre raft și o linie trasată în perete (proiecția raftului). Dacă cele două sunt perpendiculare în plan, atunci sunt perpendiculare și în spațiu.
- Aeronave și drone
În navigație și controlul zborului, unghiurile dintre traiectorii și planul solului sau al orizontului sunt esențiale.
Dacă un avion urmează o traiectorie oblică, iar un radar are o linie de măsurare perpendiculară pe proiecția traiectoriei, atunci se poate deduce perpendicularitatea în spațiu, ceea ce din nou, este o aplicație practică a teoremei.
De ce ca elev trebuie să te preocupe învățarea geometriei în spațiu
Mulți dintre elevi sunt foarte nedumeriți când vine vorba de geometria în spațiu. Ei nu înțeleg de ce trebuie învățată, nu înțeleg de ce le-ar fi utilă în viața reală și mai ales nu reușesc să înțeleagă în mod clar anumite noțiuni.
Însă, trebuie să știi că această ramură a matematicii este mai interesantă și mai plăcută decât ai putea crede la o primă vedere și reprezintă un domeniu fascinant, dacă ajungi puțin să îl înțelegi. De ce? Îți vom prezenta acum câteva dintre cele mai importante motive:
- vei înțelege mult mai ușor lumea reală
Tot ce este în jurul nostru are un anumit volum, o anumită formă și bineînțeles o poziție în spațiu, indiferent dacă vorbim de obiecte, clădiri, natură sau chiar de noi, oamenii. Ceea ce face geometria în spațiu este să explice din punct de vedere matematic relațiile dintre aceste elemente, mai exact cum se intersectează ele, cum se aliniază, ce unghiuri formează, cum se măsoară etc.
În momentul în care vei ajunge să înțelegi geometria, vei vedea lumea cu alți ochi, mai exact ca pe un sistem logic și coerent.
- îți vei dezvolta gândirea, memoria și capacitatea de orientare
Geometria în spațiu este foarte provocatoare pentru gândire, deoarece va trebui să îți imaginezi obiectele din mai multe unghiuri, să vizualizezi diverse corpuri tridimensionale sau să anticipezi anumite relații dintre drepte și planuri.
Toate acestea te vor ajută să ai o gândire analitică mult mai bună, să îți îmbunătățești memoria, dar și să te orientezi mult mai bine în spațiu.
- vei înțelege baza multor meserii moderne
Geometria în spațiu stă la baza multor meserii moderne, deoarece se lucrează frecvent cu forme tridimensionale. Această ramură a matematicii te va ajuta să te dezvolți astfel încât apoi să poți face cu ușurință o carieră în arhitectură, inginerie, IT, design și grafică, jocuri 3D sau medicină imagistică.
- vei deveni și mai curios de ce te înconjoară
În momentul în care ai început să înveți geometria în spațiu percepția ta despre lume se va schimba, ceea ce te va face din ce în ce mai curios. Vei dori să observi unghiuri, drepte, volume etc. în tot ce te înconjoară.
Prin urmare, geometria în spațiu nu este un banal și neînțeles capitol pe care îl vei găsi în manualul de matematică, ci este mult mai mult decât atât, este o lume fascinantă, care te va ajuta să te dezvolți și îți va creea o mulțime de oportunități.
Așadar, dacă ai ajuns la lecția despre teorema celor trei perpendiculare și ți se pare un non-sens fără legătură cu viața reală, gândește lucrurile din altă perspectivă și ține cont de avantajele pe care ți le poate aduce învățarea geometriei în spațiu.
Leave a Reply